网络流24题

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前言

最近发现网络流只会板子不会模型转换,于是来做网络流 24 题。

本文代码以 LibreOJ 上的数据为准,Luogu 的题面可能稍有不同。

本文不定时更新。 (有可能永久咕咕咕)

洛谷P4884 - 多少个1?

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我们通过观察可以发现 $11\cdots1$ 可以变化为 $\frac{10^{n}-1}{9}$,于是根据取模的性质,我们可以把原式两边同乘九再加一、原式变为 $10^{n} \equiv k \cdot 9 + 1 \pmod m$,发现这是个 BSGS 的标准式子,由于$m$保证为质数,所以也不必用拓展 BSGS。

CF1037D - Valid BFS?

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作为一道英文题,我们先解释一下题意:

给你一棵树和它的一个 BFS 序,让你判断这个 BFS 序是否是一个从节点 1 开始的合法 BFS 序。

接下来我们进入正题。

第一眼看到这题时,大部分人都会想到,既然是树,那么它一定是一层一层地向下 BFS。

也就是说,BFS 序中越后出现的节点,它树上的深度肯定是大于它前面的节点的。

于是照这个思想打完后,发现 Wrong Answer 了。

洛谷P2094 - 运输

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这道题第一眼像是合并果子,我们考虑贪心。

我们先选择一种贪心策略:每次选当前最大的两个数合并,直到只剩最后一件物品。

接下来我们证明一下为什么这样是对的:

我们先想一想合并果子,那道题的贪心策略与这道题相反,每次选最小的两个数合并。考虑它为什么是对的——我们发现越先选的数对结果的贡献越大,为了使结果尽可能小,肯定是越小的先选越好。

洛谷P2988 - Test Taking

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作为一道英文题,我们先解释一下题意:

给你一个长度为 $n$ 的 01 串,其中可能至少有 $t_{i}$ 个 1,问最后你给出一个 01 串可能和其匹配的最大长度。

接下来我们进入正题。

第一眼看见觉得是水题,对于每个$t_{i}$枚举应该全 0 还是全 1,但是这显然可以找出反例来。

洛谷P1351 - 联合权值

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由题意得一个点对的联合权值是它们的点权相乘,而 2 个点形成点对的条件是距离为 2。

于是我们可以通过枚举这 2 个节点的公共点来算出以这个点为中心的权值和。

但是先枚举中心点再枚举其相邻的节点时间复杂度达到了$O(n^3)$,我们不能承受。

经过观察发现,对于特定的点,它都要乘上除自己以外的所有点权,再相加。然后我们就可以先处理出点权和,统计答案的时候把自己减去即可。

洛谷P1432 - 倒水问题

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很容易看出这是宽度优先搜索,因为要求步数最少,且每个操作代价相同。

我们可以按操作类别分 6 种情况扩展,如果搜到最终状态就跳出 BFS(搜索顺序可以随意,因为 spj 已经配置好了,不像数据修改前要有特定的顺序)。

记得标记已经出现过的情况,不然会 TLE/MLE;

洛谷P2234 - 「HNOI2002」营业额统计

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根据题意我们发现对于每个$A_{i}$,与它绝对值最小的一定是前$i$个数排序后在它前面或后面的数。

这样的话,我们维护一个单调的序列,插入每天的营业额时计算其波动值即可。

最暴力的便是插入排序,复杂度$(N^2)$,不能忍受。。

我们应选择复杂度为$(NlogN)$的方法。

维护一个单调序列自然想到了 set(平衡树也可以,但是作者懒,想用 STL 水过去,逃……),因为可能有多个相同的营业额,所以我选择了 multiset。

洛谷P1107 - 雷涛的小猫

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我们根据题意,发现这是一个 DP 题,定义$f_{i,j}$表示在高度为$i$,当前要爬的树为$j$所能获得的最大柿子数。

易得状态转移方程:$f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-delta,k}) (1\leq k \leq n)$ 当$i>delta$时后一项成立。

于是我们得到了一个时间复杂度为$O(H \times N^2)$,空间复杂度为$O(N \times H)$的算法啦。。