作为一道英文题先解释一下题意。
用 $T$ 秒时间按顺序听 $N$ 首歌，第 $i$ 首歌播放时间为 $t_i$ 秒，且每播放一秒都会有 $p_i$ 的概率被识别出来，跳到下一首。某首歌播放时间过完默认被识别，也跳到下一首。若时间有剩余而歌已全部听完则直接结束。求识别出歌数量的期望。
看见题目就想到期望DP。
第一眼想到的方程是设 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 秒识别到第 $j$ 首歌的期望，不难想出一个 $O(n^3)$ 的算法。
枚举一个 $k$ 表示第 $j$ 首歌已经放了几秒，注意一下边界即可。
为了准备初赛，发现自己对P问题、NP问题和NPC问题一点都不熟悉，在网上找到了 Matrix67 大佬的博文，感觉很棒，所以转载一下。
其实是太久没写博文了来充数的
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以下为原文，对公式略加修改，删改了逻辑电路部分内容，并且重绘了逻辑电路图（原文排版实在难以看清）。
作为一道英文题，我们先解释一下题意。
题面有点长就不解释了，大家自己翻译吧。
首先有一个 Simple 的想法，直接维护啊，变的节点又不多，修改不是 $O(1)$ 的吗？
然后发现错了。
最近折腾了一下 Arch Linux，写一篇安装教程纪念一下。
环境为 HP Notebook x86_64，UEFI。
作为 Windows 用户，常羡慕 Linux 用户高端大气的终端。
其实，Windows 自带的 PowerShell 也十分的强大。
但是过于简陋的界面不知道劝退了多少用户，于是让我们来美化一下 PowerShell 吧。
以下教程环境均为 PowerShell 5.x。
首先我们要知道这道题的原型是「NOI2014」起床困难综合症。
总是有出题人喜欢把序列上用线段树解决的题目出到树上，让选手强行写个树链剖分或树分治或某种动态树数据结构。
序列问题转化为树上问题，很容易想到树链剖分，直接上板子。
我们通过观察可以发现 $11\cdots1$ 可以变化为 $\frac{10^{n}-1}{9}$，于是根据取模的性质，我们可以把原式两边同乘九再加一，原式变为 $10^{n} \equiv k \cdot 9 + 1 \pmod m$，发现这是个 BSGS 的标准式子，由于 $m$ 保证为质数，所以也不必用拓展 BSGS。
作为一道英文题，我们先解释一下题意：
给你一棵树和它的一个 BFS 序，让你判断这个 BFS 序是否是一个从节点 1 开始的合法 BFS 序。
接下来我们进入正题。
第一眼看到这题时，大部分人都会想到，既然是树，那么它一定是一层一层地向下 BFS。
也就是说，BFS 序中越后出现的节点，它树上的深度肯定是大于它前面的节点的。
于是照这个思想打完后，发现 Wrong Answer 了。
这道题第一眼像是合并果子，我们考虑贪心。
我们先选择一种贪心策略：每次选当前最大的两个数合并，直到只剩最后一件物品。
接下来我们证明一下为什么这样是对的：
我们先想一想合并果子，那道题的贪心策略与这道题相反，每次选最小的两个数合并。考虑它为什么是对的——我们发现越先选的数对结果的贡献越大，为了使结果尽可能小，肯定是越小的先选越好。